XRay_CT

3 CT

But : voir à l’intérieur du corps (tranche)

3.1 Principe de base

Reconstruction d’un objet bidimensionneé dont on ne connaît que les projections unidimensionnnelles


3.2 Contexte mathématique

3.2.1 Transformation de Radon

Pour définir complètement un objet sans le connaître, on peut prendre des intégrales de ligne dans tous les angles entre 0 et 179 ° , appellée projection. C’est la transformation de Radon

Cela crée un sinogramme.

3.2.2 Sinogramme

Dans le cas des Rayon x, l’intégrale de ligne corresponds à l’intensité reçu par le détecteur (en passant par tous les coefficients d’atténuation dnas le corps)

Les images de CT sont sous forme de sinogramme, on veut faire la transformation inverse pour retrouver la tranche scannée



3.2.3 Tranche de Fourier

Pour chaque projection, on prend la transformation de Fourier

→ ça donne une ligne de la transformée de Fourier de l’objet réel dans l’axe u tournée de l’angle theta


3.2.4 Transformation Fourier inverse

En prenant la tranformation de Fourier inverse, on retombe donc sur l’objet original.

3.2.5 Reconstruction


3.2.6 Rétrospection filtrée

La transformée de Fourier inverse prend trop de force de calcul pour remettre la matrice sous forme carrée et l’inverser



En changeant en coordonnées polaires, la tranformée inverse de Fourier est l’équivalent de la double intégrale de la TF d’une projection $P_{\theta }(w)$ multiplié par sa norme w.


La multiplication dans le domaine de Fourier est l’équivalent de la convolution dans le domaine spatiale.

Donc si on peut faire la convolution de la projection on retrouve l’objet original !

Filtre

La convolution est un filtre. Le filtre $|w|$  amplifie les fréquences hautes mais la fréquence spatiale maximale est la fréquence de Nyquist.

Dans la pratique, on utilise les filtres de Ram-Lak ou SHeep-Logan



Principe de la rétroprojection : les valeurs des

projections filtrées sont ajoutées à tous les pixels

qu’elles rencontrent lors de la rétroprojection.


3.3 Principe de mesure


3.3.1 Mise à l’échelle

Unités Hounsfield: 4096 niveaux de gris proportionnelles au coefficent de l’eau

Noir : faible atténuation

Blanc forte atténuation

Oeuil humain : seulement 30 à 40 niveaux de gris

3.3.2 Fenêtrage


3.3.3 Netteté

Dépend du noyau de convolution, dose de rayons x et épaisseur de couche


3.3.5 Epaisseur de couche


3.4 Implémentation technique

3.4.1 TDM


3.5 Applications

Diagnostic pulmonaire

Coloscopie virtuelle

Hémorragie, tumeur, anévrisme

Structure osseuse

TDM cardiaque, TDM à double source : deux énergies différentes pour contrastes différents